2017-01-30

数学永远领先这个世界200年，这句话对吗？

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高中数学，欧氏几何是两千年前就有的内容，一元二次方程也是有千年历史的东西，解析几何、坐标系可追溯到笛卡尔时代，等差等比数列怕是也有千年历史，甚至被当成高考重点考点的简单微积分、导数，也是牛顿莱布尼兹那个时代也就有的——这个好像也不止200年了吧？

本科数学的话，如果你不是学数学专业，那么你主要就学高数线代，或许还学学概率论——概率论倒算是现代一点的学科，如果你只是学古典概型、学离散连续随机变量、概率密度函数这些东西的话，应该刚好能跨入200年前的数学这个门槛。如果你学Kolmogrov的概率论公理化定义的话，恭喜你，终于来到了20世纪初的数学。至于高数么，对不起，高数那点微积分内容，大部分内容都是牛顿老人家就已经知道了的，而且他老人家的算功应该比你们中的绝大多数都厉害。线代么，算是跨入200年门槛的数学吧，不过向量、矩阵的概念其实出现得挺晚的。

要真正了解最近200年的数学的主要内容，要了解傅立叶分析，实分析，泛函分析，复变函数论，微分几何，微分方程，抽象代数，代数数论，代数几何，代数拓扑，等等这些近现代数学的主流内容，恐怕你读数学专业的本科生都不够，还得上上数学研究生的基础课。从这个意义上来说，数学基础教育确实落后时代200年以上。

如今的人们生活在信息时代甚至是后信息时代，然而大部分人对数学的认知甚至停留在第一次工业革命以前，以为微积分就是数学的巅峰了。我觉得产生这种结果，主要原因是数学科普教育的重大缺失，大家对近现代数学史的了解太太不够了。我觉得甚至可以考虑给高中生上上“近现代数学与自然科学史”之类的课，有些常识真的是有必要了解的。相比自然科学，数学的科普又要逊色很多，很多人都知道相对论、量子力学，知道DNA双螺旋结构，这些都是20世纪的发现。然而20世纪的数学呢？我猜大众知道得最多的应该是哥德巴赫猜想、费马大定理、庞加莱猜想、千禧年七大数学问题等等著名的数学问题，但是却对20世纪的数学的整个大图景，却几乎一无所知。

不过回到问题本身，我上面的观点是，现代数学毫无疑问领先大众对数学的平均认知200年以上，然而现代数学是否领先现代自然科学200年以上呢？这倒未必，至少在前沿物理，比如弦论、量子场论等领域，我们所拥有的数学工具是远远不够的。比如我们至今无法从数学上严格定义什么叫“路径积分”。除此以外，我们所拥有的数学工具也不足以让我们有效处理复杂系统；据说可控核聚变进展缓慢也有数学的锅——我们对等离子体的Navier-Stokes方程了解很不够。从这个意义上来说，数学在某些方面甚至落后于这个时代的科学研究。